简述什么是完全二叉树 ?
参考回答
完全二叉树是一种特殊的二叉树,它的特点是:
1. 除了最后一层,其他层的节点都被完全填满。
2. 最后一层的节点从左到右依次排列,可能不满,但必须紧凑,即没有空隙。
在完全二叉树中,每一层除了最后一层外,所有节点都有两个子节点,最后一层的节点可以少于其他层,但必须靠左对齐。
详细讲解与拓展
1. 定义和特点
- 每一层的节点都填满:完全二叉树的每一层(除了最后一层)都必须填满节点。例如,如果树的高度是 ( h ),那么除了第 ( h ) 层外,其他每一层的节点数都必须达到最大值 ( 2^{i-1} )(其中 ( i ) 是当前层数)。
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最后一层的节点从左到右排列:最后一层的节点可以不满,但必须从左到右连续排列,不能有空隙。
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节点数量公式:完全二叉树的节点总数最多为 ( 2^h – 1 ),其中 ( h ) 是树的高度。如果树的高度是 ( h ),那么总节点数在 ( 2^{h-1} ) 到 ( 2^h – 1 ) 之间。
2. 完全二叉树与满二叉树的区别
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满二叉树:每个非叶子节点都有两个子节点,并且所有节点都充满,没有空隙。所有层的节点都必须填满。
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完全二叉树:与满二叉树不同,完全二叉树的最后一层节点可以不满,但要求从左到右依次排列。除了最后一层,其他层的节点都是满的。
3. 应用
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堆:完全二叉树是堆(如最大堆、最小堆)的核心结构。由于堆是完全二叉树,它保证了每次插入和删除操作的时间复杂度是 ( O(\log n) )。
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二叉树的存储结构:完全二叉树适合用数组来存储,其中数组的索引和树节点的位置有直接的关系。对于索引 ( i ) 的节点,其左子节点位于 ( 2i + 1 ),右子节点位于 ( 2i + 2 ),父节点位于 ( \lfloor (i-1)/2 \rfloor )。
4. 查找与插入操作
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查找:对于完全二叉树来说,查找通常不是其最优操作,查找操作可以通过遍历树的各个节点来完成。
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插入:由于完全二叉树具有较强的“紧凑性”,插入操作通常在树的最后一层进行,然后通过调整树的结构来保持它的完整性。
总结
完全二叉树是一种除最后一层外,所有层的节点都完全填满,并且最后一层的节点从左到右依次排列的二叉树。它具有较强的结构约束,广泛应用于堆和其他需要高效存储和访问的数据结构。