01背包问题🌟🌟🌟🌟🌟

课程_算法系统课 0 100 免费

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在视频中，我把 v[i] 和 w[i] 给搞反了，就是把 v[i] 看成了价值，把 w[i] 看成了体积。大家看的时候注意一下哈，因为寻思 v 就是 value，意思是价值，，，

01背包问题

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每种物品只有一件。

第 i 件物品的体积是 V[i]，价值是 W[i]。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

DP 三部曲

1、dp[i] [v]：在 0….i 中，体积为 v 的背包中，能够拿到的最大价值为 dp[i] [v]。

2、求关系式

dp[i] [v] dp[i-1] [v] dp[i] [v-x] 寻找一些关系式

dp[i] [v] =

(1)、对于第 i 件物品，如果不拿第 i 件物品，只剩下 0…i-1件物品=》dp[i] [v] = dp[i-1] [v]，

(2)、对于第 i 件物品，如果把它放进包里，那我们就能得到一个价值为 v[i] 的物品，

dp[i] [v] = dp[i-1] [v-w[i]] + v[i]。

最终公式：dp[i] [v] = max(dp[i-1] [v-w[i]] + v[i], dp[i-1] [v])

3、初始化条件

dp[0] [v] = 0

dp[i] [0] = 0

4、代码

代码实现

Java

import java.util.Scanner;

public class Main{
    public static void main(String[] args) throws Exception {
        // 读入数据的代码
        Scanner reader = new Scanner(System.in);
        // 物品的数量为N
        int N = reader.nextInt();
        // 背包的容量为V
        int V = reader.nextInt();
        // 一个长度为N的数组，第i个元素表示第i个物品的体积；
        int[] v = new int[N + 1] ;
        // 一个长度为N的数组，第i个元素表示第i个物品的价值；
        int[] w = new int[N + 1] ;

        for (int i=1 ; i <= N ; i++){
            // 接下来有 N 行，每行有两个整数:v[i],w[i]，用空格隔开，分别表示第i件物品的体积和价值
            v[i] = reader.nextInt();
            w[i] = reader.nextInt();
        }
        reader.close() ;

        // 核心模式代码

        int[][] dp = new int[N+1][V+1];
        // 初始化

        for(int i = 1; i <= N; i++){
            for(int j = 0; j <= V; j++){
                if(v[i] > j){
                    dp[i][j] = dp[i-1][j];
                }else{
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-v[i]] + w[i]);
                }
            }
        }

        System.out.println(dp[N][V]);

    }
}

Python

def main():
    # 读入数据的代码
    # 物品的数量为N
    N, V = map(int, input().split())
    # 一个长度为N的数组，第i个元素表示第i个物品的体积；
    v = [0] * (N + 1)
    # 一个长度为N的数组，第i个元素表示第i个物品的价值；
    w = [0] * (N + 1)

    for i in range(1, N + 1):
        # 接下来有 N 行，每行有两个整数:v[i],w[i]，用空格隔开，分别表示第i件物品的体积和价值
        v[i], w[i] = map(int, input().split())

    # 核心模式代码

    dp = [[0 for _ in range(V + 1)] for _ in range(N + 1)]
    # 初始化
    for i in range(1, N + 1):
        for j in range(V + 1):
            if v[i] > j:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j]
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - v[i]] + w[i])

    print(dp[N][V])

if __name__ == "__main__":
    main()

C++

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main() {
    // 读入数据的代码
    int N, V;
    cin >> N >> V;
    vector<int> v(N + 1), w(N + 1);

    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        // 接下来有 N 行，每行有两个整数:v[i],w[i]，用空格隔开，分别表示第i件物品的体积和价值
        cin >> v[i] >> w[i];
    }

    // 核心模式代码

    vector<vector<int>> dp(N + 1, vector<int>(V + 1, 0));
    // 初始化
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        for (int j = 0; j <= V; j++) {
            if (v[i] > j) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            } else {
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
            }
        }
    }

    cout << dp[N][V] << endl;

    return 0;
}

Go

package main

import (
    "fmt"
)

func main() {
    // 读入数据的代码
    var N, V int
    fmt.Scan(&N, &V)
    v := make([]int, N+1)
    w := make([]int, N+1)

    for i := 1; i <= N; i++ {
        // 接下来有 N 行，每行有两个整数:v[i],w[i]，用空格隔开，分别表示第i件物品的体积和价值
        fmt.Scan(&v[i], &w[i])
    }

    // 核心模式代码

    dp := make([][]int, N+1)
    for i := 0; i <= N; i++ {
        dp[i] = make([]int, V+1)
    }

    // 初始化
    for i := 1; i <= N; i++ {
        for j := 0; j <= V; j++ {
            if v[i] > j {
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
            } else {
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-v[i]]+w[i])
            }
        }
    }

    fmt.Println(dp[N][V])
}

func max(a, b int) int {
    if a > b {
        return a
    }
    return b
}